一根轻质不可伸长细绳 $AB$ 穿过光滑水平桌面上的两个小孔 $C$ 和 $D$，其中 $AC=3a$，$DB=a$。一个质量为 $m$ 的质点连接在 $A$ 端，并以角速度 $\omega$ 做水平圆周运动。一个质量为 $\frac34m$ 的质点连接在 $B$ 端，并以角速度 $k\omega$ 做水平圆周运动。$AC$ 与竖直向下方向成 $\theta$ 角，$DB$ 与水平方向成 $\theta$ 角（见图）。

求 $k$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

两段绳子的角度分别与竖直、水平比较。对每个质点，张力的水平分量与圆周半径含有相同的三角因子，约去后直接比较张力。

The smooth holes give the same tension $T$ in both end segments. The radius of the circle of $A$ is $3a\sin\theta$, so

For $B$ the radius is $a\cos\theta$ because $DB$ makes angle $\theta$ with the horizontal. Thus

The cancellations are valid since $0<\theta<90^\circ$. Equating the tensions gives

Taking the positive angular-speed ratio gives $k=2$.

也可先用两个质点的竖直平衡求绳的倾角与张力，再分别求角速率。

Vertical equilibrium gives $T\cos\theta=mg$ for $A$ and $T\sin\theta=\frac34mg$ for $B$. Dividing gives

Hence $\cos\theta=4/5$, $\sin\theta=3/5$ and $T=mg/(4/5)=5mg/4$. The two radii are $9a/5$ and $4a/5$. The inward radial equations give

Their ratio is $k^2=(5g/3a)/(5g/12a)=4$, giving the positive ratio $k=2$.