质点 $P$ 和 $Q$ 从悬崖顶端的点 $O$ 在同一竖直平面内射出。悬崖的高度超过 $50\text{ m}$。两个质点都仅在重力作用下自由运动。质点 $P$ 以速率 $\frac{35}2\text{ m s}^{-1}$、与水平向上成 $\alpha$ 角射出，其中 $\tan\alpha=\frac43$。质点 $Q$ 以速率 $u\text{ m s}^{-1}$、与水平向上成 $\beta$ 角射出，其中 $\tan\beta=\frac12$。质点 $Q$ 在质点 $P$ 射出一秒后射出。两质点在质点 $Q$ 射出 $T\text{ s}$ 后碰撞。

(a) 写出两质点碰撞时 $P$ 和 $Q$ 相对于 $O$ 的水平位移的表达式，用 $T$ 表示，并由此证明 $4uT=21\sqrt5(T+1)$。

(b) 求 $T$ 的值。

(c) 求两质点碰撞时相对于 $O$ 的水平位移和竖直位移。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

碰撞时 $P$ 比 $Q$ 多飞行一秒。由两个正切值求对应的余弦，再让两者的水平位移相等。

The horizontal displacements at the collision are

Equating these and multiplying by $2\sqrt5$ gives

用相同的飞行时间分别写竖直位移。因为 $uT$ 已由水平方程求出，可直接消去 $u$。

The vertical displacements are

At impact these are equal. Using $uT/\sqrt5=\frac{21}{4}(T+1)$ from part (a) gives

Hence $16T+36=21T+21$, so $T=3\,\mathrm{s}$.

用 $P$ 的运动求两种位移。它在碰撞时已经飞行 $T+1=4$ 秒。

At collision,

Thus the particles are $42\,\mathrm{m}$ horizontally from $O$ and $24\,\mathrm{m}$ below it.