一根长为 $a$ 的轻质不可伸长细绳的一端连接在固定点 $O$。一个质量为 $m$ 的质点连接在细绳的另一端，并被保持在点 $A$，使细绳绷紧。在 $A$ 点，细绳与经过 $O$ 的竖直向上方向成 $\theta$ 角。质点从 $A$ 点以速率 $u$ 沿垂直于细绳的向下方向射出。它在该竖直平面内沿圆周运动。

当细绳与经过 $O$ 的竖直向下方向成 $\alpha$ 角时，质点的速率为 $2u$，细绳中张力的大小为其在 $A$ 点时大小的 $10$ 倍。

已知 $u=\sqrt{\frac23ga}$。

(a) 求细绳在 $A$ 点时的张力大小，用 $m$ 和 $g$ 表示。

(b) 求 $\cos\alpha$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

先用动能增加量求 $\cos\theta+\cos\alpha$。再在两位置各列径向方程，注意重力在两个径向的符号不同。

Let $T$ be the tension at $A$. The vertical drop from $A$ to the later point is $a(\cos\theta+\cos\alpha)$. Conservation of energy gives

With $u^2=2ga/3$, dividing by $mga$ gives

The inward radial equations are

Writing $q=T/(mg)$, the first gives $\cos\theta=2/3-q$. The energy equation then gives $\cos\alpha=1/3+q$. Dividing the second radial equation by $mg$ gives

Therefore $T=mg/3$.

将上一问的张力代回第二个位置的径向方程，直接求 $\cos\alpha$。

Using $T=mg/3$ in $10T-mg\cos\alpha=\frac83mg$ gives