一个质量为 $4\text{ kg}$ 的质点 $P$ 沿一条水平直线运动。在 $t\text{ s}$ 时，$P$ 的速度为 $v\text{ m s}^{-1}$，相对于直线上固定点 $O$ 的位移为 $x\text{ m}$。作用在 $P$ 上的唯一的力是大小为 $(4\mathrm{e}^{-x}+12)\mathrm{e}^{-x}\text{ N}$ 的阻力。当 $t=0$ 时，$x=0$，$v=4$。

(a) 通过积分证明 $v=\frac{1+3\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x}$。

(b) 求 $x$ 用 $t$ 表示的表达式。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

初速度为正，阻力反向。用 $v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$ 表示加速度，积分后将速度平方配成完全平方。

On the forward branch, Newton’s second law gives

Dividing by $4$ and expanding gives

Integrating gives

Hence

At $x=0$, $v=4$, so $8=1/2+3+C$ and $C=9/2$. Hence

The positive branch satisfies the initial condition and stays positive, giving $v=3+e^{-x}=(1+3e^x)/e^x$.

把上一问的速度写成位移的导数。分离变量后，分子的 $e^x$ 是分母导数的常数倍。

Since $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t=(1+3e^x)/e^x$, integration from the initial point gives

Here the substitution uses $\mathrm{d}(1+3e^s)/\mathrm{d}s=3e^s$. Exponentiating gives

For $t\ge0$ the right-hand side is positive. Taking logarithms gives