$AB$ 和 $BC$ 是光滑水平面上的两块固定的光滑竖直挡板，其中 $ABC$ 角为 $60^\circ$。一个质量为 $m$ 的质点在该平面上以速率 $u$ 运动。质点以与 $AB$ 成 $\theta$ 角的方向撞上 $AB$。随后，它撞上 $BC$，并以与 $BC$ 成 $\beta$ 角的方向反弹（见图）。质点与每块挡板之间的恢复系数均为 $e$，且 $\tan\theta=2$。

质点第一次碰撞后的动能为第一次碰撞前动能的 $40\%$。

(a) 求 $e$ 的值。

(b) 求 $\beta$ 角的大小。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

对第一面墙，平行分量不变，法向分量反向且大小乘以 $e$。用碰后动能比写出两个分量平方和。

Since $\tan\theta=2$, we have $\cos^2\theta=1/5$ and $\sin^2\theta=4/5$. The rebound speed $v$ at $AB$ satisfies

The kinetic energy ratio gives

Hence $v^2/u^2=2/5$, so $1+4e^2=2$ and $e^2=1/4$. Since $0\le e\le1$, $e=1/2$.

先求离开 $AB$ 后的方向。再用两面墙的夹角求入射方向与 $BC$ 的夹角，并对第二次碰撞使用分量比。

If the angle to $AB$ immediately after the first impact is $\alpha$, the two components give $\tan\alpha=(eu\sin\theta)/(u\cos\theta)=e\tan\theta=1$, so $\alpha=45^\circ$. The acute angle between the incoming direction and $BC$ at the second collision is

The parallel component is unchanged and the normal component magnitude is multiplied by $e$. Thus