一根自然长度为 $a$、弹性模量为 $3mg$ 的轻弹性绳的一端连接在固定点 $O$ 处，另一端连接一个质量为 $m$ 的质点 $P$。绳悬挂着，$P$ 位于 $O$ 的正下方。将质点 $P$ 竖直向下拉，使绳的伸长量为 $2a$，然后将 $P$ 从静止释放。

(a) 求 $P$ 位于 $O$ 下方距离为 $\frac34a$ 处时的速率。

(b) 求 $P$ 从静止释放时的初始加速度。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

初始有弹性势能。到 $O$ 下方 $3a/4$ 时，绳长小于自然长度，弹性势能为零。用能量守恒同时计入重力势能的增加。

At release the string has extension $2a$ and the particle is $3a$ below $O$. The initial elastic potential energy is

At the requested point the string is slack, and the particle has risen $3a-3a/4=9a/4$. By conservation of energy,

Hence $v=\sqrt{15ag/2}$.

释放瞬间绳的伸长已知。由胡克定律求张力，再用张力减去重力求向上加速度。

The initial tension is $3mg(2a)/a=6mg$. Newton’s second law gives $mA=6mg-mg$, so the initial acceleration is $5g$ upwards.