一个质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接在一根长为 $a$ 的不可伸长轻绳的一端，绳的另一端连接在固定点 $O$ 处。将质点 $P$ 保持在点 $A$，使 $OA$ 与经过 $O$ 的竖直向下方向成 $\theta$ 角，并使绳绷紧。质点 $P$ 以速率 $u$ 沿垂直于 $OA$ 且向上的方向抛出，随后开始在竖直平面内沿圆周路径运动。当 $P$ 位于 $B$ 时绳变松，此时角 $AOB$ 为 $90^\circ$，$P$ 的速率为 $\sqrt{\frac45ag}$。

(a) 求 $\sin\theta$ 的值。

(b) 用 $m$ 和 $g$ 表示 $P$ 位于 $A$ 时绳中的张力。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

在 $B$ 绳刚松弛，张力为零。因为 $OA$ 与 $OB$ 垂直，重力指向圆心的分量为 $mg\sin\theta$。

At $B$ the radius makes angle $90^\circ-\theta$ with the upward vertical. With zero tension, the inward radial equation is

Thus $\sin\theta=4/5$.

由 $A$ 到 $B$ 的高度差和 $B$ 点速率求发射速率，再对 $A$ 点列径向方程。

The string first goes slack before the particle passes the highest point. To see this, write $\phi$ for the angle of the radius from the downward vertical. Combining energy and the radial equation gives

If the highest point had already been passed before $B$, the tension there would be $T(B)+3mg(-1+4/5)=-3mg/5$, which is impossible for a taut string. Thus $\theta+90^\circ<180^\circ$, so $\theta$ is acute and $\cos\theta=3/5$.

The rise from $A$ to $B$ is $a(\cos\theta+\sin\theta)=7a/5$. Conservation of energy gives

The weight has outward radial component $mg\cos\theta$ at $A$. If $T$ is the tension there,

Therefore $T=m(18ag/5)/a+3mg/5=21mg/5$.