一根自然长度为 $a$、弹性模量为 $\lambda mg$ 的轻弹性绳的一端连接在光滑水平面上的固定点 $O$ 处。当绳的自由端连接一个质量为 $m$ 的质点时，该质点以速率 $v$ 沿以 $O$ 为圆心、半径为 $x$ 的水平圆周运动。当改为在绳的自由端连接一个质量为 $2m$ 的质点时，该质点以速率 $\frac12v$ 沿以 $O$ 为圆心、半径为 $\frac34x$ 的水平圆周运动。

(a) 用 $a$ 表示 $x$。

(b) 已知 $v=\sqrt{12ag}$，求 $\lambda$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

两次运动都用张力提供向心力。先根据质量、速率和半径的变化求两次张力之比，再用胡克定律求 $x$。

For the two circular motions, Hooke’s law and the radial equations give

Since both tensions are positive, $x>4a/3$. Dividing the radial expressions gives

The two extensions are $x-a$ and $3x/4-a$. By Hooke’s law their ratio equals the tension ratio, so

Multiplying out gives $9x-12a=8x-8a$, hence $x=4a$.

代入 $x=4a$ 与 $v^2=12ag$。把第一次运动的向心力与胡克定律给出的张力相等。

For the first mass, the radial equation is $T_1=m(12ag)/(4a)=3mg$. Hooke’s law gives $T_1=\lambda mg(3a)/a=3\lambda mg$, so $\lambda=1$. In the second case the extension is $2a$ and the radial force is $2mg$, which gives the same result.