一个沿直线运动的质点 $P$ 在 $t\text{ s}$ 时，相对于直线上固定点 $O$ 的位移为 $x\text{ m}$，速度为 $v\text{ m s}^{-1}$。$P$ 的加速度以 $\text{m s}^{-2}$ 为单位，由 $6v\sqrt{v+9}$ 给出。当 $t=0$ 时，$x=2$ 且 $v=72$。

(a) 求 $v$ 关于 $x$ 的表达式。

(b) 求 $x$ 关于 $t$ 的表达式。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

用 $v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$ 表示加速度。在从 $v=72$ 出发的正速度分支约去 $v$，积分后代入初值。

On the branch starting with $v=72$,

Here $v$ starts positive and increases, so it may be cancelled. Separating variables gives

Evaluating gives

Thus $v=9(x+1)^2-9=9x(x+2)$ for the forward motion from $x=2$.

用上一问的结果写出关于 $x$ 和 $t$ 的微分方程。分母分解为 $x(x+2)$，再用部分分式积分。

Since $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t=9x(x+2)$,

Here $x\ge2$, so the logarithm arguments are positive. Exponentiating gives $e^{18t}=2x/(x+2)$, hence $(x+2)e^{18t}=2x$ and $x(2-e^{18t})=2e^{18t}$. Therefore

The finite forward solution is defined for $0\le t<(\ln 2)/18$.