在时刻 $t\text{ s}$，一个质点 $P$ 从水平面上的点 $O$ 以 $40\text{ m s}^{-1}$ 的速率、与水平方向成仰角 $\theta$ 抛出，此后仅在重力作用下自由运动。$P$ 在飞行过程中达到的最大高度为 $H\text{ m}$，对应的时刻为 $T\text{ s}$。

(a) 求 $H$ 和 $T$ 关于 $\theta$ 的表达式。

在 $t=T$ 到 $t=3$ 的时间内，$P$ 下降的距离为 $\frac14H$。

(b) 求 $\theta$ 的值。

(c) 求 $t=3$ 时 $P$ 的速率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

以发射为计时起点。最高点的竖直速度为零，由此求时间，再用竖直速度平方公式求高度。

Taking $t=0$ at projection, the vertical velocity is $40\sin\theta-10t$. At the highest point,

The vertical velocity equation between launch and the highest point gives $0=(40\sin\theta)^2-20H$, so $H=80\sin^2\theta$.

从最高点开始，竖直初速度为零。在 $3-T$ 秒内自由下落的距离等于 $H/4$。

The vertical drop in time $3-T$ from the highest point is $5(3-T)^2$. Therefore

Since the particle descends after the highest point, $3-T>0$. Taking positive square roots gives $2\sin\theta=3-4\sin\theta$, so $\sin\theta=1/2$ and $\theta=30^\circ$. This gives $T=2$ and $H=20$, and the drop in the next second is indeed $5=H/4$.

也可从发射点写高度函数。第 $3$ 秒的高度是最高点高度的四分之三。

At $t=3$, the height is $120\sin\theta-45$. Since this is $3H/4$,

Dividing by $15$ and rearranging gives

The roots are $\sin\theta=1/2$ and $3/2$. Since $0<\theta<90^\circ$, only the first is possible, giving $\theta=30^\circ$.

水平方向的速度保持不变。求第 $3$ 秒的竖直速度后，将两个分量平方相加。

At $t=3$, the horizontal component is $40\cos30^\circ=20\sqrt3$ and the vertical component is $40\sin30^\circ-30=-10$. The speed is therefore