一个质量为 $m$ 的质点 $P$ 在固定的光滑水平面上以速率 $u$ 运动。它以与一块固定光滑竖直挡板成 $\alpha$ 角的方向撞向挡板。碰撞后，$P$ 沿与挡板成 $\theta$ 角的方向运动，其中 $\tan\theta=\frac12$（见图）。$P$ 与挡板之间的恢复系数为 $e$。此次碰撞使质点 $P$ 损失了其动能的 $20\%$。

求 $e$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

角度是速度与墙面的夹角。平行分量不变，垂直分量的大小乘以 $e$。用碰后角的正切先建立 $e$ 与 $\alpha$ 的关系，再使用动能比。

Write $v$ for the speed after impact. The two component equations are

Dividing the component equations gives $e\tan\alpha=\tan\theta=1/2$, so $e\sin\alpha=\cos\alpha/2$. The kinetic energy falls by $20\%$, hence

Using the component equations and cancelling $mu^2/2$ gives

Thus $\cos^2\alpha=16/25$. Since $\alpha$ is acute, $\cos\alpha=4/5$, $\sin\alpha=3/5$ and $\tan\alpha=3/4$. It follows that $e=(1/2)/(3/4)=2/3$.

也可先从碰后角得到碰后的两个速度分量，再用碰撞规律反推出碰前分量。把它们平方相加，与初速率的平方比较。

Since $\tan\theta=1/2$, we have $\cos\theta=2/\sqrt5$ and $\sin\theta=1/\sqrt5$. The incoming parallel and normal component magnitudes are $2v/\sqrt5$ and $v/(e\sqrt5)$, respectively. Therefore

The energy condition is $\frac12mv^2=\frac45\cdot\frac12mu^2$, so $v^2=4u^2/5$. Substituting gives

Since $e>0$, we obtain $e=2/3$.