一个物体由一个半径为 $2a$ 的实心半球和一个半径为 $a$、高为 $d$ 的实心圆柱组成。半球和圆柱由同一种材料制成。圆柱连接在半球的平面上。线段 $OC$ 是圆柱底面的一条直径，其中 $C$ 是半球平面的圆心，$O$ 是两个圆周的公共点（见图）。以图示经过 $O$、分别平行和垂直于 $OC$ 的坐标轴为参照，物体的质心坐标为 $(\bar{x},\bar{y})$。

(a) 证明 $\bar{x}=\frac{32a^2+3ad}{16a+3d}$，并求 $\bar{y}$ 关于 $a$ 和 $d$ 的表达式。

将该物体放在一个与水平面成 $\theta$ 角的粗糙斜面上，其中 $\sin\theta=\frac16$。物体保持平衡，且 $CO$ 水平；$CO$ 位于一个经过斜面最大坡度线的竖直平面内。

(b) 用 $a$ 表示 $d$。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

用图中的坐标取矩。半球质心在 $OC$ 下方，圆柱质心在上方。两种材料密度相同，所以可以用体积作为权重。

The hemisphere has volume $16\pi a^3/3$. Its centroid has coordinates $(2a,-3a/4)$, since its centre lies $2a$ to the right of $O$ and its centroid is $3(2a)/8$ below the flat face. The cylinder has volume $\pi a^2d$ and centroid $(a,d/2)$. Taking moments and cancelling $\pi a^2/3$ gives

Similarly, the vertical moment equation gives

接触点处的半径垂直于斜面。物体平衡时，接触力的合力与重力共线，所以接触点与质心有相同的横坐标。

The object contacts the plane on the curved hemisphere. The radius from $C$ to the contact point makes angle $\theta$ with the downward vertical, and its length is $2a$. Since weight and the resultant contact force are the only external forces, their lines of action coincide. The contact point therefore has horizontal coordinate $\bar{x}$. As $\bar{x}<2a$, it is to the left of $C$, so

Substituting the expression from part (a) gives

Hence $d=8a/3$.