一个质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接在一根长为 $a$ 的不可伸长轻绳的一端，绳的另一端连接在固定点 $O$ 处。将质点 $P$ 保持在点 $A$，使 $OA$ 与经过 $O$ 的竖直向下方向成 $\alpha$ 角，并使绳绷紧。质点 $P$ 以速率 $\sqrt{3ag}$ 沿垂直于 $OA$ 且向上的方向抛出，随后开始在竖直平面内沿圆周路径运动。当 $P$ 位于 $B$ 时绳变松，其中 $OB$ 与竖直向上方向成 $\theta$ 角。

已知 $\cos\alpha=\frac45$，求 $\cos\theta$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

把 $B$ 点的张力设为零，用重力径向分量表示速率。再用 $A$ 到 $B$ 的高度差写能量方程。

If the speed at $B$ is $v$, zero tension gives $mg\cos\theta=mv^2/a$, so $v^2=ag\cos\theta$. The rise from $A$ to $B$ is $a(\cos\alpha+\cos\theta)$. Conservation of energy gives

Equating the two expressions for $v^2$ and dividing by $ag$ gives

Hence $\cos\theta=7/15$.