一根自然长度为 $a$、弹性模量为 $\lambda mg$ 的轻弹性绳的一端连接在固定点 $O$ 处。绳位于光滑水平面上。一个质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接在绳的另一端。质点 $P$ 沿 $OP$ 方向抛出。当绳长为 $\frac43a$ 时，$P$ 的速率为 $\sqrt{2ag}$；当绳长为 $\frac53a$ 时，$P$ 的速率为 $\frac12\sqrt{2ag}$。

求 $\lambda$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

桌面光滑且水平，动能的减少量等于绳的弹性势能增加量。计算两处伸长时都要减去自然长度 $a$。

The extensions at lengths $4a/3$ and $5a/3$ are $a/3$ and $2a/3$. Between those points the kinetic energy decreases by

The elastic potential energy increases by

Equating the energy changes and dividing by $mga>0$ gives $\lambda/6=3/4$, so $\lambda=9/2$.