一块均匀薄片呈三角形 $ABC$ 的形状，其中 $AC=8a$，$BC=6a$，角 $ACB=90^\circ$。点 $D$ 位于 $AC$ 上，且 $AD=3a$。点 $E$ 位于 $CB$ 上，且 $CE=x$（见图）。从薄片上移去三角形 $CDE$。

(a) 用 $a$ 和 $x$ 表示剩余物体 $ADEB$ 的质心到 $AC$ 的距离。

当物体 $ADEB$ 位于竖直平面内，且边 $EB$ 放在光滑水平面上时，物体恰好将绕点 $E$ 倾倒。

(b) 用 $a$ 表示 $x$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

大三角形和挖去的直角三角形都可以用垂直于 $AC$ 的高确定质心距离。以面积为权重作减法。

The full triangle has area $24a^2$ and centroid at distance $6a/3=2a$ from $AC$. The removed triangle has legs $CD=5a$ and $CE=x$, so its area is $5ax/2$ and its centroid is $x/3$ from $AC$. Let $\overline{x}$ be the distance of the remaining centroid from $AC$. Taking area moments gives

$EB$ 水平，且将绕 $E$ 倾倒，因此质心在 $E$ 的正上方。它到 $AC$ 的距离就等于 $CE$。

At limiting equilibrium the line of action of the weight passes through $E$. Since $EB$ is horizontal and $AC$ is perpendicular to it, the distance of the centre of mass from $AC$ is $x$. Therefore

Since $0<x<6a$, the solution is $x=12a/5$.