两个相同的光滑均匀球体 $A$ 和 $B$ 的质量均为 $m$。两球在光滑水平面上运动，发生碰撞时的速率分别为 $u$ 和 $2u$。碰撞前的瞬间，$A$ 的运动方向与两球的连心线成 $30^\circ$ 角，$B$ 的运动方向垂直于连心线（见图）。碰撞后，$A$ 和 $B$ 沿相同方向运动。两球之间的恢复系数为 $e$。

(a) 求 $e$ 的值。

(b) 求此次碰撞造成的两球总动能损失。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

碰撞只改变沿球心连线的速度。两个球的碰后速度方向相同，所以它们的平行分量之比等于各自不变的垂直分量之比。

Let $v_A$ and $v_B$ be the final components along the line of centres from $A$ to $B$. The perpendicular components in the diagram have the same direction and magnitudes $u/2$ and $2u$. Since the resulting velocity vectors point in the same direction, $v_A/(u/2)=v_B/(2u)$, so $v_B=4v_A$. Momentum and restitution give

Hence $5v_A=u\cos30^\circ$ and $3v_A=eu\cos30^\circ$. Dividing gives $e=3/5$.

也可以先把两个平行分量都表示成 $e$ 的函数，再用碰后方向相同的条件直接求 $e$。

The parallel momentum and restitution equations give

Cancelling $m$ in the momentum equation, then adding and subtracting, gives

The two final velocity vectors have equal parallel-to-perpendicular component ratios, so $v_B=4v_A$. Thus $1+e=4(1-e)=4-4e$, so $5e=3$ and $e=3/5$.

垂直分量未变，对动能损失的贡献为零。只需比较两球沿球心连线的碰前、碰后动能。

Put $U=u\cos30^\circ$. The initial parallel components are $U$ and zero, and the final ones are $U/5$ and $4U/5$. The total kinetic energies are

The unchanged perpendicular terms cancel. Thus the loss is