一根自然长度为 $12a$、弹性模量为 $kmg$ 的轻弹性绳的一端连接在固定点 $O$ 处，另一端连接一个质量为 $m$ 的质点。质点以恒定速率 $\frac32\sqrt{3ag}$ 沿水平圆周运动，圆心位于 $O$ 下方距离为 $12a$ 处。绳与经过 $O$ 的竖直向下方向成 $\theta$ 角。

(a) 用 $a$ 表示绳的伸长量。

(b) 求 $k$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

用圆周半径 $r$ 表示 $\tan\theta$。张力的水平、竖直分量相除后也能得到 $\tan\theta$，联立即可求 $r$。

Let $r$ be the radius and $T$ the tension. Vertical balance and radial motion give

Thus $\tan\theta=v^2/(rg)$. The geometry gives $\tan\theta=r/(12a)$, and $v^2=27ag/4$. It follows that

Hence $r=9a$, and the string length is $\sqrt{(12a)^2+(9a)^2}=15a$. The extension is $3a$.

也可直接设绷紧长度为 $L$，用直角三角形表示张力分量中的正弦、余弦。

The vertical and horizontal projections of the string have lengths $12a$ and $\sqrt{L^2-144a^2}$. Hence $\cos\theta=12a/L$, $\sin\theta=\sqrt{L^2-144a^2}/L$ and $r=\sqrt{L^2-144a^2}$. Vertical balance gives $T=mgL/(12a)$. Substituting into the radial equation gives

Multiplying by $12a\sqrt{L^2-144a^2}/(mg)$ gives

Since $L>0$, we have $L=15a$ and the extension is $15a-12a=3a$.

由竖直分量平衡求张力，再与 $3a$ 的伸长所对应的胡克定律联立。

Since $\cos\theta=12a/(15a)=4/5$, the tension is $T=5mg/4$. Hooke’s law also gives $T=kmg(3a)/(12a)=kmg/4$. Thus $k=5$.