题目

Problem

A particle of mass $m\text{ kg}$ falls vertically under gravity, from rest. At time $t\text{ s}$ , $P$ has fallen $x\text{ m}$ and has velocity $v\text{ m s}^{-1}$ . The only forces acting on $P$ are its weight and a resistance of magnitude $kmgv\text{ N}$ , where $k$ is a constant.

(a) Find an expression for $v$ in terms of $t$ , $g$ and $k$ .

(5)

(b) Given that $k=0.05$ , find, in metres, how far $P$ has fallen when its speed is $12\text{ m s}^{-1}$ .

(5)

题目中文翻译

一个质量为 $m\text{ kg}$ 的质点从静止开始在重力作用下竖直下落。在 $t\text{ s}$ 时， $P$ 已下落 $x\text{ m}$ ，速度为 $v\text{ m s}^{-1}$ 。作用在 $P$ 上的力只有重力和大小为 $kmgv\text{ N}$ 的阻力，其中 $k$ 为常数。

(a) 求 $v$ 关于 $t$ 、 $g$ 和 $k$ 的表达式。

(5)

(b) 已知 $k=0.05$ ，求 $P$ 的速率为 $12\text{ m s}^{-1}$ 时已下落的距离，以米为单位。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ( $g$ ) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

解答

(a)

解法一

思路

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取竖直向下为正。阻力与速率成正比，分离变量后用静止释放的初值确定积分常数。

答题过程

展开

Taking downwards as positive, Newton’s second law gives

\begin{align*} m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=&\,mg-kmgv,\\[4mm] \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=&\,g(1-kv). \end{align*}

On the branch starting from rest, $0\le v<1/k$ . Separating variables and using $v=0$ at $t=0$ gives

\begin{align*} \int_0^v\frac{\mathrm{d}s}{1-ks}=&\,\int_0^t g\,\mathrm{d}\tau,\\[4mm] \bigg[-\frac1k\ln(1-ks)\bigg]_0^v=&\,gt,\\[4mm] -\frac1k\ln(1-kv)=&\,gt. \end{align*}

Thus $\ln(1-kv)=-kgt$ , so $1-kv=e^{-kgt}$ and

v=\frac{1-e^{-kgt}}{k}.

(b)

解法一

思路

展开

用速度式求达到 $12\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ 的精确时间，再把速度积分得到这段时间内的位移。

答题过程

展开

With $k=0.05$ and $g=10$ , $v=20(1-e^{-t/2})$ . At $v=12$ , we have $e^{-t/2}=2/5$ and $t=2\ln(5/2)$ . The distance fallen is

\begin{align*} x=&\,\int_0^t20(1-e^{-s/2})\,\mathrm{d}s\\[4mm] =&\,\big[20s+40e^{-s/2}\big]_0^t\\[4mm] =&\,20t-40(1-e^{-t/2}). \end{align*}

Substituting gives $x=40\ln(5/2)-24\approx12.7\,\mathrm{m}$ .

解法二

思路

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也可直接用 $v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$ 表示加速度，将路程与速率关联起来，省去时间变量。

答题过程

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The equation is $v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x=g(1-kv)$ . Integrating from $v=0$ to $v=12$ gives

\begin{align*} \frac{v}{1-kv}=&\,\frac1k\bigg(\frac1{1-kv}-1\bigg),\\[4mm] x=&\,\frac1g\int_0^{12}\frac{v}{1-kv}\,\mathrm{d}v\\[4mm] =&\,\frac1{kg}\bigg[-v-\frac1k\ln(1-kv)\bigg]_0^{12}. \end{align*}

For $k=0.05$ and $g=10$ this is $-24-40\ln(2/5)=40\ln(5/2)-24\approx12.7\,\mathrm{m}$ .

CIE 9231 2023 June Paper 33 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程