点 $O$ 和 $P$ 位于同一水平面上，相距 $8\text{ m}$。一个球从 $O$ 以 $u\text{ m s}^{-1}$ 的速率、与水平方向成仰角 $\theta$ 抛出，其中 $\tan\theta=\frac43$。同一瞬间，一架模型飞机从 $P$ 正上方 $4\text{ m}$ 处以 $5\text{ m s}^{-1}$ 的速率、平行于该水平面的方向发射。模型飞机与球在同一个竖直平面内运动，且二者的水平运动方向相同。模型飞机以 $5\text{ m s}^{-1}$ 的恒定速率沿水平方向运动。经过 $T\text{ s}$ 后，球与模型飞机发生碰撞。

(a) 求 $T$ 的值。

(b) 求碰撞前瞬间球的运动方向。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

以球的水平方向为正。碰撞时两者的水平坐标相同，球的高度为 $4$。用 $\tan\theta=4/3$ 把竖直初速度写成水平初速度的倍数，消去 $u$。

Let $s$ be the initial horizontal coordinate of the aircraft, so $s=8$ or $s=-8$ relative to $O$. The aircraft has horizontal coordinate $s+5T$ at the collision. The ball then satisfies

Using $\tan\theta=4/3$ yields

If $s=-8$, this gives $15T^2-20T+44=0$, whose discriminant is negative. Thus the aircraft starts ahead of the ball, with $s=8$. The equation becomes

The roots are $T=-2/3$ and $T=2$. The positive time is $T=2\,\mathrm{s}$.

由碰撞时的水平坐标求球的水平速度，再按原发射角求初始竖直分量。扣除两秒内重力造成的速度变化即可求方向。

At the collision, the ball has travelled $8+5(2)=18\,\mathrm{m}$ horizontally in $2\,\mathrm{s}$. Its horizontal velocity is therefore $9\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Its initial upward component is $9(4/3)=12\,\mathrm{m\,s^{-1}}$, so its vertical component at impact is $12-10(2)=-8\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. Its direction is

below the horizontal.