两个半径相等的光滑均匀球 $A$ 和 $B$ 的质量分别为 $m$ 和 $5m$。球 $A$ 以速率 $u$ 在光滑水平面上运动，并与静止在该平面上的球 $B$ 碰撞。碰撞前的瞬间，$A$ 的运动方向与两球连心线成角 $\theta$。碰撞后，$A$ 和 $B$ 的动能相等。两球之间的恢复系数为 $\frac12$。

求 $\tan\theta$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

把碰撞分为沿球心连线和垂直于球心连线两个方向。沿线用动量守恒和恢复定律，再把碰后动能相等转化为关于 $\tan\theta$ 的方程。

Let $v_A$ and $v_B$ be the signed components along the line from $A$ to $B$ after impact. Conservation of momentum and restitution give

Adding the last two equations gives $6v_B=\frac32u\cos\theta$. Hence $v_B=u\cos\theta/4$ and $v_A=-u\cos\theta/4$. The perpendicular components are unchanged, with magnitudes $u\sin\theta$ and zero respectively. Equating the final kinetic energies gives

Cancelling $mu^2/2$ and multiplying by $16$ gives

Since $\theta$ is acute, $\tan\theta=1/2$.