一个重为 $W$、半径为 $a$、圆心为 $O$ 的圆环静止在粗糙斜面上。斜面与水平方向成角 $\alpha$，其中 $\tan\alpha=\frac12$。圆环所在平面垂直于斜面，且平行于斜面的一条最大坡度线。圆环圆周上的点 $P$ 满足 $OP$ 平行于斜面。

一根不可伸长轻绳连接在 $P$ 和斜面上的点 $Q$ 之间，使 $PQ$ 保持水平（见图）。点 $O$、$P$ 和 $Q$ 位于同一竖直平面内。系统处于极限平衡状态，圆环与斜面之间的摩擦系数为 $\mu$。

(a) 用 $W$ 表示绳 $PQ$ 中的张力。

(b) 求 $\mu$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

先绕圆心取矩确定摩擦力的方向及大小关系，再沿斜面平衡力的分量。

Let $T$ be the tension and $F$ the magnitude of friction. The tension produces a clockwise moment of magnitude $Ta\sin\alpha$ about $O$. Weight and the normal reaction have zero moment about $O$. Friction therefore acts up the slope, with $Fa=Ta\sin\alpha$. Equilibrium along the slope gives

Substituting $F=T\sin\alpha$ yields

也可直接绕圆环与斜面的接触点取矩。摩擦力和支持力都通过该点，方程只含重力和张力。

Let $S$ be the contact point. The horizontal distance from $S$ to the vertical through $O$ is $a\sin\alpha$, giving weight moment $Wa\sin\alpha$. The vertical distance from $S$ to the horizontal line through $P$ is $a\cos\alpha+a\sin\alpha$. Equating the two moments gives

With $\tan\alpha=1/2$, this gives $T=W/3$.

垂直斜面方向上，重力和水平张力都有分量压向斜面。求出支持力后，用极限摩擦关系求 $\mu$。

Resolving normal to the plane gives $R=W\cos\alpha+T\sin\alpha$. From the moment equation about $O$, $F=T\sin\alpha$. Since $F=\mu R$ at limiting equilibrium and $T=W/3$,