题目

Problem

A particle $P$ of mass $2\text{ kg}$ moving on a horizontal straight line has displacement $x\text{ m}$ from a fixed point $O$ on the line and velocity $v\text{ m s}^{-1}$ at time $t\text{ s}$ . The only horizontal force acting on $P$ has magnitude $\frac{1}{10}(2v-1)^2\mathrm{e}^{-t}\text{ N}$ and acts towards $O$ . When $t=0$ , $x=1$ and $v=3$ .

(a) Find an expression for $v$ in terms of $t$ .

(5)

(b) Find an expression for $x$ in terms of $t$ .

(4)

题目中文翻译

质量为 $2\text{ kg}$ 的质点 $P$ 沿一条水平直线运动。在时刻 $t\text{ s}$ ，它相对于该直线上固定点 $O$ 的位移为 $x\text{ m}$ ，速度为 $v\text{ m s}^{-1}$ 。作用在 $P$ 上唯一的水平力大小为 $\frac{1}{10}(2v-1)^2\mathrm{e}^{-t}\text{ N}$ ，方向指向 $O$ 。当 $t=0$ 时， $x=1$ ， $v=3$ 。

(a) 求 $v$ 关于 $t$ 的表达式。

(5)

(b) 求 $x$ 关于 $t$ 的表达式。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ( $g$ ) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

起初 $x>0$ ，因此指向 $O$ 的力取负。分离变量时把 $(2v-1)^{-2}$ 积分，再代入初速度。

答题过程

展开

On the branch with $x>0$ , Newton’s second law gives

\begin{align*} 2\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=&\,-\frac1{10}(2v-1)^2e^{-t},\\[4mm] \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=&\,-\frac1{20}(2v-1)^2e^{-t}. \end{align*}

Integrating from $v=3$ at $t=0$ gives

\begin{align*} \int_3^v\frac1{(2s-1)^2}\,\mathrm{d}s=&\,-\frac1{20}\int_0^t e^{-\tau}\,\mathrm{d}\tau,\\[4mm] \bigg[-\frac1{2(2s-1)}\bigg]_3^v=&\,\frac1{20}(e^{-t}-1),\\[4mm] -\frac1{2(2v-1)}+\frac1{10}=&\,\frac1{20}(e^{-t}-1),\\[4mm] \frac1{2v-1}=&\,\frac{3-e^{-t}}{10}. \end{align*}

Solving for $v$ gives

\begin{align*} v=&\,\frac12+\frac5{3-e^{-t}}\\[4mm] =&\,\frac12+\frac{5e^t}{3e^t-1}. \end{align*}

This is positive for $t\ge0$ , so $x$ increases from $1$ and the force continues to act in the assumed direction.

(b)

解法一

思路

展开

把速度改写成分母 $3e^t-1$ 的形式，其中分子的 $e^t$ 正好与分母的导数成正比。

答题过程

展开

For $t\ge0$ , $3e^t-1\ge2>0$ . Integrating $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t=\frac12+5e^t/(3e^t-1)$ with $x=1$ at $t=0$ gives

\begin{align*} x-1=&\,\int_0^t\bigg(\frac12+\frac{5e^s}{3e^s-1}\bigg)\,\mathrm{d}s\\[4mm] =&\,\frac t2+\frac53\big[\ln(3e^s-1)\big]_0^t\\[4mm] =&\,\frac t2+\frac53\big[\ln(3e^t-1)-\ln2\big],\\[4mm] x=&\,1+\frac t2+\frac53\ln\bigg(\frac{3e^t-1}{2}\bigg). \end{align*}

CIE 9231 2024 June Paper 31 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程