一个圆心为 $O$、半径为 $a$ 的光滑球体固定在水平面上。质量为 $m$ 的质点 $P$ 从球体最高点以速率 $u$ 水平抛出，开始沿球面运动。质点 $P$ 在球面上的点 $Q$ 处与球体失去接触，其中 $OQ$ 与过 $O$ 的竖直向上方向成角 $\theta$。

(a) 证明 $\cos\theta=\frac{u^2+2ag}{3ag}$。

已知 $\cos\theta=\frac56$。

(b) 用 $a$ 和 $g$ 表示 $P$ 即将撞上球体所固定的水平面前，其速度的竖直分量。

(c) 求 $P$ 从 $Q$ 落到该平面所需时间的表达式。将答案写成 $k\sqrt{\frac{a}{g}}$ 的形式，并给出保留 3 位有效数字的 $k$ 值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

用能量守恒把 $Q$ 点速率和初速率联系起来。在失去接触时令支持力为零，径向分量只剩重力的分量。

Let $v$ be the speed at $Q$. The particle drops by $a(1-\cos\theta)$ along the sphere, so

At detachment the normal reaction is zero. Resolving towards $O$ gives $mg\cos\theta=mv^2/a$, or $v^2=ag\cos\theta$. Eliminating $v^2$ gives

离开球面时的速度沿切线。先求其向下分量，再用 $Q$ 到平面的高度差求落地前的竖直速度。

With $\cos\theta=5/6$, the speed at $Q$ satisfies $v^2=5ag/6$. The tangent points down at angle $\theta$ to the horizontal, so the downward component $w=v\sin\theta$ satisfies

The height of $Q$ above the plane is $a(1+\cos\theta)=11a/6$. Taking downwards as positive, the vertical component $V_y$ at impact satisfies

Thus the vertical component is $\sqrt{847ag/216}$ downwards.

脱离后向下的加速度为 $g$。用落地与离开球面时的两个竖直分量之差除以 $g$。

The time of flight is

to three significant figures in the coefficient.