在时刻 $t=0$ 秒，质点 $P$ 从点 $O$ 以速率 $u\text{ m s}^{-1}$、与水平方向成 $60^\circ$ 的仰角抛出。在随后的运动中，$P$ 仅在重力作用下自由运动。$P$ 在 $t=5$ 时的运动方向与其在 $t=15$ 时的运动方向垂直。

求 $u$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

运动方向的斜率等于竖直速度分量与水平速度分量之比。两个方向垂直时，斜率的乘积为 $-1$。

The horizontal velocity is $u\cos60^\circ=u/2>0$. At time $t$, the vertical velocity is $u\sin60^\circ-gt$. The gradients of the directions at times $5$ and $15$ are therefore

The directions are perpendicular, so $p_5p_{15}=-1$. Hence

With $g=10$, the speed is $u=50\sqrt3\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx86.6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$. The two gradients are then $1/\sqrt3$ and $-\sqrt3$, confirming that the directions are perpendicular.

分别写出两个时刻的速度向量。垂直向量的点积为零，直接用这个条件求初速率。

The velocity components at times $5$ and $15$ are

Their dot product is zero, so

Expanding gives

Hence $u=50\sqrt3\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx86.6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.