两个半径相等的光滑均匀球 $A$ 和 $B$ 的质量分别为 $m$ 和 $2m$。两球在光滑水平面上运动，并分别以速率 $u$ 和 $\frac12u$ 发生碰撞。碰撞前的瞬间，$A$ 沿两球连心线方向运动，$B$ 的运动方向与连心线成角 $\theta$（见图）。

碰撞使 $A$ 的运动方向反向，速率减小到 $\frac14u$。$B$ 的运动方向仍与连心线成角 $\theta$，但位于连心线的另一侧。$B$ 的速率不变。

求两球之间的恢复系数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

沿球心连线列动量守恒。$B$ 垂直于球心连线的分量不变，速率也不变，所以图示的方向变化对应沿线分量反号。

Take the direction from $A$ to $B$ as positive along the line of centres. The components of $A$ before and after impact are $u$ and $-u/4$. From the diagram and the stated deflection, the corresponding components of $B$ are $-(u/2)\cos\theta$ and $(u/2)\cos\theta$. Momentum conservation gives

Thus $1-\cos\theta=-1/4+\cos\theta$, so $2\cos\theta=5/4$ and $\cos\theta=5/8$. The separation and approach speeds along the line of centres are $u/4+(u/2)\cos\theta$ and $u+(u/2)\cos\theta$. The coefficient of restitution is