质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接在一根原长为 $a$、弹性模量为 $2mg$ 的轻弹性绳的一端。质量为 $km$ 的质点 $Q$ 连接在绳的另一端。质点 $P$ 位于光滑水平桌面上。绳的一部分与桌面接触，然后穿过桌面上的光滑小孔 $H$。

质点 $P$ 以恒定速率 $\sqrt{\frac12ga}$ 在桌面上的水平圆周上运动。质点 $Q$ 悬挂在小孔的正下方并处于平衡状态，且 $HQ=\frac14a$。

(a) 用 $a$ 表示绳的伸长量。

(b) 求 $k$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

圆周半径是桌面上的绳长，等于总长减去 $HQ$。用胡克定律和向心力方程表示同一个张力。

Let $x$ be the extension. The radius is $(a+x)-a/4=3a/4+x$. Hooke’s law and the radial equation give

Equating these expressions gives

The roots are $a/4$ and $-a$. The latter is impossible for a taut string, so $x=a/4$.

对悬挂的 $Q$ 做竖直平衡。小孔光滑，两侧张力相同。

The tension is $2mg(a/4)/a=mg/2$. Since $Q$ is in equilibrium, $T=kmg$, so $k=1/2$.