题目

Problem

A particle $P$ of mass $m$ is attached to one end of a light inextensible string of length $a$ . The other end of the string is attached to a fixed point $O$ . When the particle is hanging vertically below $O$ , it is projected horizontally with speed $u$ so that it begins to move along a circular path. When $P$ is at the lowest point of its motion, the tension in the string is $T$ . When $OP$ makes an angle $\theta$ with the upward vertical, the tension in the string is $S$ .

(a) Show that $S=T-3mg(1+\cos\theta)$ .

(5)

(b) Given that $u=\sqrt{4ag}$ , find the value of $\cos\theta$ when the string goes slack.

(2)

题目中文翻译

质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接在一根长为 $a$ 的不可伸长轻绳的一端。绳的另一端连接在固定点 $O$ 。当质点悬挂在 $O$ 的正下方时，将它以速率 $u$ 水平抛出，使其开始沿圆形轨道运动。当 $P$ 位于运动的最低点时，绳中的张力为 $T$ 。当 $OP$ 与竖直向上方向成角 $\theta$ 时，绳中的张力为 $S$ 。

(a) 证明 $S=T-3mg(1+\cos\theta)$ 。

(5)

(b) 已知 $u=\sqrt{4ag}$ ，求绳变得松弛时 $\cos\theta$ 的值。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ( $g$ ) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ 。

解答

(a)

解法一

思路

展开

从最低点到角度 $\theta$ 对应的位置，先用高度差写出速率的平方变化。再对两点写径向方程并相减。

答题过程

展开

At the bottom, $T-mg=mu^2/a$ . At angle $\theta$ to the upward vertical, the radial equation is

S+mg\cos\theta=\frac{mv^2}{a}.

The rise from the bottom is $a(1+\cos\theta)$ . Conservation of energy gives

\begin{align*} \frac12mu^2-\frac12mv^2=&\,mga(1+\cos\theta),\\[4mm] v^2=&\,u^2-2ga(1+\cos\theta). \end{align*}

Therefore

\begin{align*} S=&\,\frac{mu^2}{a}-2mg(1+\cos\theta)-mg\cos\theta\\[4mm] =&\,(T-mg)-2mg-3mg\cos\theta\\[4mm] =&\,T-3mg(1+\cos\theta). \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

绳刚松弛时张力为零。先由底部速率算出 $T$ ，再代入上一问。

答题过程

展开

With $u^2=4ag$ , the bottom equation gives $T=5mg$ . Putting $S=0$ in the result from part (a) gives $5=3(1+\cos\theta)$ , so $\cos\theta=2/3$ .

CIE 9231 2024 June Paper 33 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程