一根原长为 $a$、弹性模量为 $kmg$ 的轻弹簧连接在光滑斜面上的固定点 $O$。斜面与水平方向成角 $\theta$，其中 $\sin\theta=\frac34$。质量为 $m$ 的质点连接在弹簧的下端，并被保持在斜面上的点 $A$ 处，其中 $OA=2a$，且 $OA$ 沿斜面的一条最大坡度线（见图）。

将质点由静止释放。当它经过斜面上的点 $B$ 时，其速率为 $V$，其中 $OB=\frac32a$。当质点经过斜面上的点 $C$ 时，其速率为 $\frac12V$，其中 $OC=\frac34a$。

求 $k$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

取弹簧的自然长度为基准，三个位置的形变量分别为 $a$、$a/2$ 和 $-a/4$。分别从 $A$ 到 $B$、从 $A$ 到 $C$ 用能量守恒，再消去 $V^2$。

The elastic potential energy at signed extension $s$ is $kmgs^2/(2a)$. The rise from $A$ to $B$ is $(a/2)(3/4)=3a/8$, and the rise from $A$ to $C$ is $(5a/4)(3/4)=15a/16$. Conservation of energy gives

The second kinetic energy is one quarter of the first, so $15(k-2)=3(k-1)$. Thus $15k-30=3k-3$, giving $12k=27$ and $k=9/4$.

也可以比较 $B$ 与 $C$ 两个经过点。弹簧的势能减少，但质点上升且速率减半，从这两点的能量差可再得到一个关于 $V^2$ 的式子。

From $B$ to $C$ the change in kinetic energy is $-\frac38mV^2$, the change in gravitational potential energy is $mg(3a/4)(3/4)=9mga/16$, and the decrease in elastic potential energy is

The energy equation is therefore

From $A$ to $B$, energy conservation gives $V^2=\frac34ag(k-1)$, as in the first method. Equating gives $6-k=3(k-1)$, so $4k=9$ and $k=9/4$.