一块均匀薄片呈三角形 $OBC$，其中 $OC=18a$，$OB=24a$，角 $COB=90^\circ$。$OB$ 上的点 $A$ 满足 $OA=x$（见图）。从薄片中移去三角形 $OAC$。

(a) 用 $a$ 和 $x$ 表示剩余物体 $ABC$ 的质心到 $OC$ 的距离。

将物体 $ABC$ 从点 $C$ 悬挂。在平衡位置，边 $AB$ 与竖直方向成角 $\theta$，其中 $\tan\theta=\frac65$。

(b) 用 $a$ 表示 $x$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

以 $OC$ 为取矩基准。由大三角形的面积矩减去挖掉的三角形的面积矩。

The triangle $OBC$ has area $216a^2$ and centroid at distance $8a$ from $OC$. The removed triangle $OAC$ has area $9ax$ and centroid at distance $x/3$ from $OC$. Thus the remaining centroid is at distance

The cancellation is valid since $0<x<24a$.

剩下的图形本身是均匀三角形。用三个顶点到 $OC$ 的带符号距离的平均值，可以直接求质心到 $OC$ 的距离。

Using horizontal coordinates from $OC$, the three vertices $A$, $B$ and $C$ have coordinates $x$, $24a$ and $0$. The centroid of a uniform triangle has the average of the three vertex coordinates. Its distance from $OC$ is therefore $(x+24a)/3$.

悬挂后质心位于 $C$ 的正下方。用原来图形中的水平、竖直位移，计算 $AB$ 与 $C$ 到质心的连线夹角。

The centroid is at height $(0+0+18a)/3=6a$ above $OB$. From $C$ to the centroid, the horizontal and downward components are $(24a+x)/3$ and $12a$. The joining line becomes vertical after suspension, and $AB$ was horizontal in the original coordinates. Hence

Thus $24a+x=30a$, giving $x=6a$.