一名质量为 $m\text{ kg}$ 的跳伞者在以速率 $50\text{ m s}^{-1}$ 竖直向下运动时打开降落伞。打开降落伞后的时刻 $t\text{ s}$，他已从打开降落伞的位置下落了距离 $x\text{ m}$，此时速率为 $v\text{ m s}^{-1}$。作用在他身上的力为重力和大小为 $mv\text{ N}$ 的阻力。

(a) 求 $v$ 关于 $t$ 的表达式。

(b) 求 $x$ 关于 $t$ 的表达式。

(c) 求跳伞者的速率为 $15\text{ m s}^{-1}$ 时，自打开降落伞以来下落的距离。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

向下取正，重力与线性阻力给出一阶微分方程。将速度减去平衡速率 $10$ 后，方程可分离变量。

Take downwards as positive. Newton’s second law gives

On the branch starting at $v=50>10$, separation gives

At $t=0$, $v=50$, so $C=\ln40$. Exponentiating gives $v-10=40e^{-t}$, hence $v=10+40e^{-t}$. This remains above $10$ for all finite $t\ge0$, consistently with the chosen branch.

向下位移的导数是上一问的速率。用开伞时 $x=0$ 作为积分初值。

The distance fallen is

先把 $v=15$ 代入速度式求时间，再将精确的 $e^{-t}$ 与 $t$ 代入位移式。

From $15=10+40e^{-t}$ we get $e^{-t}=1/8$ and $t=\ln8$. Therefore