质量为 $8\text{ kg}$ 的质点 $P$ 沿一条水平直线运动。在 $t\text{ s}$ 时，$P$ 相对于直线上固定点 $O$ 的位移为 $x\text{ m}$，速度为 $v\text{ m s}^{-1}$。作用于 $P$ 的唯一水平力的大小为 $(x^3+4x)\text{ N}$，方向沿 $OP$。当 $t=0$ 时，$x=0$ 且 $v=1$。

(a) 求 $v$ 关于 $x$ 的表达式，将答案写成 $v=ax^2+b$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是待求的常数。

(b) 求 $x$ 关于 $t$ 的表达式。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

在质点向 $OP$ 方向运动的这一段，用 $v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$ 表示加速度。用初值确定积分常数，再根据运动方向选取平方根。

Initially $v=1$, so $P$ starts towards increasing $x$ and the force for $x>0$ acts in that direction. Newton’s second law gives

Integrating gives $4v^2=x^4/4+2x^2+C$. At $x=0$, $v=1$, so $C=4$. Hence

The velocity stays positive, so $v=\frac14x^2+1$. The constants are $a=1/4$ and $b=1$.

把上一问的速度写成 $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$，分离变量。将分母整理为适合使用反正切积分的形式。

Using $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t=1+x^2/4$ and $x=0$ at $t=0$ gives

Hence $x=2\tan(t/2)$ for $0\le t<\pi$ on the motion starting at $t=0$.