一个圆心为 $O$ 的粗糙水平圆盘以恒定角速度 $\omega\text{ rad s}^{-1}$ 转动。质量为 $1.6\text{ kg}$ 的质点 $P$ 位于圆盘上，距 $O$ 为 $1.5\text{ m}$，并由一根轻弹性绳连接到 $O$ 正上方的点 $A$。绳的原长为 $2\text{ m}$，弹性模量为 $32\text{ N}$，与竖直线 $OA$ 的夹角为 $\alpha$（见图）。质点 $P$ 也以恒定角速度 $\omega\text{ rad s}^{-1}$ 做水平圆周运动。质点 $P$ 恰好要沿 $OP$ 方向滑动。质点与圆盘之间的摩擦系数为 $0.5$。

(a) 已知绳的张力为 $8\text{ N}$，证明 $\sin\alpha=0.6$。

(b) 求圆盘及质点 $P$ 每分钟转动的圈数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

由张力求伸长，再把绳的总长作为直角三角形的斜边。

If the extension is $e$, Hooke’s law gives $32e/2=8$. Hence $e=0.5\,\mathrm{m}$ and $AP=2.5\,\mathrm{m}$. The horizontal distance $OP$ is $1.5\,\mathrm{m}$, so

先做竖直平衡求支持力。质点将向外滑时，极限摩擦力向内，与张力的水平分量一起提供向心力。

As $\cos\alpha=0.8$, vertical equilibrium gives

The friction is $0.5R=4.8\,\mathrm{N}$ towards $O$. The radial equation is

This gives $\omega^2=4$, hence $\omega=2\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$. Since one revolution is $2\pi$ radians, the rate of the disc and particle is $\frac{2}{2\pi}\times60=\frac{60}{\pi}\approx19.1$ revolutions per minute.