从一个底面半径为 $3r$、半顶角为 $\theta$ 的均匀实心圆锥中挖去一个半径为 $2r$ 的实心半球，形成一个物体，其中 $\tan\theta=\frac12$。圆锥与半球的对称轴重合，二者的底面位于同一平面内（见图）。

(a) 用 $r$ 表示该物体的质心到底面的距离。

将该物体放置在一个与水平面成 $\alpha$ 角的粗糙平面上，使其圆形底面与该平面接触。物体恰好要倾倒。平面足够粗糙，使物体不会滑动。

(b) 求 $\alpha$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

沿共同对称轴取矩。把挖去的半球看作负质量，用两部分的体积代替质量计算。

The cone has height $3r/\tan\theta=6r$, volume $18\pi r^3$, and centre of mass at height $6r/4=3r/2$ above its base. The removed hemisphere has volume $\frac23\pi(2r)^3=\frac{16}{3}\pi r^3$, and its centre of mass is $3(2r)/8=3r/4$ above the same base. If $\overline{y}$ is the required height, the volume moments give

即将倾倒时，重力的作用线经过底面下坡侧的边缘。在沿最大坡度方向的截面内，用底面半径与质心高度求倾角。

In the cross-section along the line of greatest slope, the vertical through the centre of mass reaches the downhill rim of the circular base at limiting equilibrium. The axis of the cone makes angle $\alpha$ with the vertical, so

Thus $\alpha=58.8^\circ$.