一个固定的空心球的半径为 $a$，球心为 $O$。点 $A$、$B$ 和 $C$ 位于球的内表面上，其中 $OA$ 和 $BC$ 水平。在高于球心 $ka$ 的位置，沿经过 $B$、$C$ 的水平面切去球的一部分，其中 $k$ 为正常数且 $k<1$。点 $O$、$A$、$B$ 和 $C$ 位于同一个竖直平面内。$OB$ 与过 $O$ 的竖直向上方向成 $\theta$ 角（见图）。

质量为 $m$ 的质点 $P$ 可在球的光滑内表面上自由运动。将 $P$ 从 $A$ 以速率 $u$ 竖直向下发射，质点开始做竖直圆周运动。

(a) 当 $u=\sqrt{\frac65ga}$ 时，$P$ 在 $B$ 处受到的支持力是其在 $A$ 处受到的支持力的一半。

求 $k$ 的值。

(b) 在质点恰好到达 $B$ 的情况下，用 $a$ 和 $g$ 表示 $u$。

(c) 在质点经过 $B$ 并在随后的运动中到达 $C$ 的情况下，用 $a$ 和 $g$ 表示 $u$。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

先由图读出 $\cos\theta=k$。用 $A$、$B$ 两点的径向方程表示支持力，再用能量守恒消去 $B$ 点速率。

Let $v$ be the speed at $B$, and $R_A$, $R_B$ the normal reactions. The height of $B$ above $O$ is $ka$, so $\cos\theta=k$. The radial equations towards $O$ give

Using $R_B=R_A/2$ yields $v^2=\frac12u^2+agk$. Energy conservation from $A$ to $B$ also gives $v^2=u^2-2agk$. Equating the expressions for $v^2$ gives

Since $a,g>0$, $k=1/5$.

从 $B$ 飞到同高的 $C$ 时，用竖直运动求飞行时间，再用这段时间内的水平位移求 $B$ 点速率。

The tangent at $B$ points upwards towards $C$, at angle $\theta$ above the horizontal. Since $\cos\theta=1/5$, the separation is $BC=2a\sin\theta$. Let $v$ be the speed at $B$. For the flight from $B$ to $C$, the vertical displacement is zero, so the nonzero flight time is $2v\sin\theta/g$. The horizontal displacement then gives

Since $\sin\theta>0$, cancelling $2\sin\theta$ gives

Since $B$ is $a/5$ above $A$, conservation of energy up to $B$ gives

At $B$, the reaction just before reaching the rim is $m(5ag-ga/5)/a>0$, consistent with reaching the rim in contact.

也可直接以 $B$ 为原点写抛物线轨迹，把 $C$ 的坐标代入。

Take $x$ horizontally from $B$ towards $C$, and $y$ upwards from $B$. The trajectory is

At $C$, $x=2a\sin\theta$ and $y=0$. Dividing by the nonzero $x$ gives

Adding the energy required for the rise $a/5$ from $A$ to $B$ gives $u^2=5ag+2ag/5=27ag/5$, so $u=\sqrt{27ag/5}$.

还可利用抛物线的对称性。最高点在 $BC$ 的中垂线上，对轨迹求导后在该处令斜率为零。

In coordinates based at $B$, the slope of the trajectory is

As $B$ and $C$ are at the same height, the maximum occurs halfway across, at $x=a\sin\theta$. Thus

By conservation of energy between $A$ and $B$, $u^2=5ag+2ag/5=27ag/5$. Hence $u=\sqrt{27ag/5}$.