质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接在一根原长为 $a$、弹性模量为 $mg$ 的轻弹性绳的一端。绳的另一端固定在粗糙斜面上的点 $O$，斜面与水平面成 $30^\circ$ 角。将质点 $P$ 保持在点 $O$ 处静止，随后释放。$P$ 沿斜面下滑时所受的摩擦力为 $\frac{11}{30}mg$。

(a) 用 $a$ 表示 $P$ 沿斜面向下运动至静止时经过的距离。

(b) 已知 $P$ 在这个新位置保持静止。

用 $m$ 和 $g$ 表示此位置的摩擦力大小。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

绳松弛时，重力沿斜面的分量大于滑动摩擦力，质点能走过自然长度。对绷紧后的停止位置，用重力所做的功扣除摩擦所做的功。

The net force down the plane while the string is slack is $(\frac12-\frac{11}{30})mg=\frac2{15}mg>0$, so $P$ moves beyond distance $a$. If it stops after moving distance $x>a$, the net work by gravity and friction equals the elastic potential energy:

Cancelling $mg$ and multiplying by $30a$ gives

The root $3a/5$ is outside the taut interval, so the stopping distance is $5a/3$.

停止后要重新用平衡条件求静摩擦力。此处张力比重力沿斜面的分量大，所以静摩擦力向下。

At $x=5a/3$ the extension is $2a/3$, so the tension is $2mg/3$ up the slope. The component of the weight down the slope is $mg/2$. The friction needed for equilibrium is therefore $(2/3-1/2)mg=mg/6$ down the plane.