一个质量为 $m\text{ kg}$ 的球以初速率 $U\text{ m s}^{-1}$ 竖直向上抛出，并在重力作用下运动。抛出后 $t\text{ s}$ 时，球已运动的路程为 $x\text{ m}$，速率为 $v\text{ m s}^{-1}$。球还受到大小为 $mkv^2\text{ N}$ 的阻力，其中 $k$ 为正常数。

(a) 证明球向上运动时已运动的路程为

已知 $k=0.025$ 且 $U=20$。

(b) 求球到达最大高度所需的时间。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

在上升阶段，重力和阻力都向下，且路程的导数就是速率。用 $v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$ 表示加速度并分离变量。

Taking upwards as positive while the ball rises gives

Integrating from speed $U$ at $x=0$ to speed $v$ gives

要求时间时使用 $\mathrm{d}v/\mathrm{d}t$。把 $g+kv^2$ 写成常数乘 $400+v^2$，然后用反正切积分。

With $g=10$ and $k=1/40$, the ascent satisfies $\mathrm{d}v/\mathrm{d}t=-(400+v^2)/40$. The time to the highest point is