一个物体由一块均匀薄片和一个连接在薄片上的质点组成。质量为 $m$ 的均匀薄片 $ABCEFD$ 由矩形 $ABCD$ 和等腰三角形 $CEF$ 组成，其中 $F$ 是 $CD$ 的中点。矩形的边长为 $AB=2a$ 和 $AD=a$，三角形 $CEF$ 的底为 $a$、高为 $2a$。质量为 $km$ 的质点连接在薄片的点 $E$ 处。该物体静止在一个竖直平面内，边 $AD$ 位于水平地面上（见图）。

已知该物体恰好要在其所在的竖直平面内绕顶点 $D$ 倾倒，求 $k$ 的值。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

以 $D$ 为水平坐标原点，先用面积矩求整块薄片的质心。临界倾倒时，薄片与质点的总重力通过 $D$。

Take rightwards as positive from $D$. The rectangle has area $2a^2$ and centre of mass at $-a/2$. The triangle has area $a^2$ and centre of mass at $2a/3$, one third of the way from its base to $E$. The lamina’s horizontal centre of mass coordinate is

At limiting equilibrium, the moments of the lamina and attached particle about $D$ balance:

Hence $k=1/18$.

也可直接把矩形、三角形与质点当作三个质量，绕 $D$ 取矩，一次求出 $k$。

The masses of the rectangle and triangle are $2m/3$ and $m/3$, since their areas are in the ratio $2:1$. The attached particle has mass $km$. Balancing clockwise and anticlockwise moments about $D$ gives

Cancelling $mga$ and rearranging gives $2k=1/3-2/9=1/9$, so $k=1/18$.