一个半径为 $r$ 的空心圆柱固定放置，轴线水平。点 $A$、$B$ 和 $O$ 位于同一个垂直于圆柱轴线的竖直平面内，其中 $A$ 和 $B$ 在光滑内表面上，$O$ 在轴线上。$OA$ 和 $OB$ 与过 $O$ 的竖直向上方向分别成 $90^\circ$ 和 $\alpha$ 角，且 $A$ 和 $B$ 位于该竖直线的两侧。一个质量为 $m$ 的质点从 $A$ 以速率 $\sqrt{\frac32rg}$ 竖直向下发射，在圆柱内部做竖直圆周运动（见图）。质点在点 $B$ 处与圆柱脱离接触。

(a) 求 $\alpha$ 的值。

(b) 用 $r$ 表示质点在随后运动中到达的高于 $O$ 的最大高度。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

在脱离点，支持力为零。用径向方程表示 $B$ 点速率，再用能量守恒联系 $A$、$B$。

Let $v$ be the speed at $B$. Since the normal reaction vanishes there,

The rise from $A$ is $r\cos\alpha$. Conservation of energy gives

Combining with $v^2=rg\cos\alpha$ yields $3\cos\alpha=3/2$, so $\alpha=60^\circ$.

质点从 $B$ 沿切线向上飞出，发射方向与水平线成 $60^\circ$。先求脱离后的额外上升高度，再加 $B$ 相对于 $O$ 的高度。

The speed at detachment satisfies $v^2=rg/2$. The upward component is $v_y=v\sin60^\circ$. With the origin at $O$, let $\mathbf r(t)$ be the position during flight measured from detachment in time. Since the initial velocity is tangent and $v^2=g(r\cos\alpha)$,

It is negative for $0<t<4v_y/g$, so the particle is still clear of the cylinder at the highest point, reached at $t=v_y/g$. Since $v_y^2=(rg/2)\sin^2 60^\circ=3rg/8$, and the vertical velocity is zero at the highest point, the additional rise is

Adding the height $r\cos60^\circ=r/2$ at detachment gives the greatest height in this free flight, $11r/16$.