两个相同的均匀光滑球 $A$ 和 $B$ 的质量均为 $m$，在水平面上分别以速率 $2u$ 和 $u$ 运动并发生碰撞。碰撞前瞬间，两球的运动方向平行且相反，各自的运动方向均与两球的连心线成 $\theta$ 角（见图）。碰撞后，$B$ 沿垂直于其初始运动方向的方向运动。两球之间的恢复系数为 $e$。

(a) 用 $e$ 表示 $\tan\theta$。

碰撞后，$A$ 沿垂直于两球连心线的方向运动。

(b) 求 $\theta$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

沿球心连线联立动量守恒和恢复定律，先求 $B$ 的碰后平行分量。再用垂直于球心连线的分量不变，以及 $B$ 碰前、碰后速度垂直的条件。

Take the direction from $A$ to $B$ along the line of centres as positive. Let $v$ and $w$ be the signed components after collision along this line for $A$ and $B$. Then

Adding the last two equations gives $2w=(1+3e)u\cos\theta$, so $w=\frac12(1+3e)u\cos\theta$. Choose the perpendicular direction so that the component of $B$ in that direction is $u\sin\theta$, unchanged by the collision. Its initial and final velocity vectors have zero dot product, hence

Substituting for $w$ gives

Since $u>0$ and $\theta$ is acute, $u^2\cos^2\theta>0$. Dividing gives $\tan^2\theta=(1+3e)/2$, and taking the positive root yields

$A$ 碰后沿球心连线的分量为零。用恢复定律和动量方程求 $e$，再代入上一问。

Putting $v=0$ gives $w=u\cos\theta$ from momentum and $w=3eu\cos\theta$ from restitution. Therefore $e=1/3$ and $\tan\theta=1$. Thus $\theta=45^\circ$.

也可绕开 $e$，把 $A$ 的平行分量为零代入动量方程，再用 $B$ 的垂直条件。

With $v=0$, the momentum equation gives $w=u\cos\theta$. Substituting this into the zero dot product for $B$ gives

Thus $\tan^2\theta=1$. The acute solution is $\theta=45^\circ$.