质点 $P$ 从点 $O$ 以速率 $U$、与水平方向成 $45^\circ$ 角、斜向上的方向抛出，随后仅在重力作用下自由运动。

(a) 写出时刻 $t$ 的速度的竖直分量与水平分量。

在时刻 $T$，质点 $P$ 沿低于水平方向 $60^\circ$ 的方向运动。

(b) 证明 $T=\frac{U}{2g}(\sqrt2+\sqrt6)$。

在时刻 $T$，质点撞击一个光滑水平面，撞击点距 $O$ 的水平距离为 $D$，竖直位置低于 $O$ 的距离为 $H$。

(c) 求比值 $H:D$。

撞击水平面后，$P$ 以速率 $w$ 反弹。$P$ 与该平面之间的恢复系数为 $\frac23$。

(d) 用 $U$ 表示 $w$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

把初速度分解到水平与竖直方向。重力只改变竖直分量。

Taking upwards as positive, the vertical and horizontal velocity components at time $t$ are

速度方向在水平线下方 $60^\circ$ 时，竖直分量是水平分量的 $-\sqrt3$ 倍。代入分量表达式求时间。

At time $T$ the ratio $v_y/v_x$ is $-\tan60^\circ=-\sqrt3$. Hence

用水平和竖直位移公式列出 $D$ 和 $H$。取向上为正时，竖直位移是 $-H$。

The displacements at time $T$ are

Taking the ratio and substituting $gT=(1+\sqrt3)U/\sqrt2$ gives

Thus $H:D=1:(1+\sqrt3)$.

也可从竖直速度的平方求下落高度。再用飞行时间求水平位移，就能直接约去共同因子。

At impact the vertical component is $-\sqrt{3/2}\,U$. The vertical equation $v_y^2=u_y^2+2gH$ yields

Meanwhile $D=UT/\sqrt2=U^2(1+\sqrt3)/(2g)$. Therefore $H:D=1:(1+\sqrt3)$.

平面光滑，水平分量不变。竖直分量反向，大小乘恢复系数，最后合成速率。

After the bounce the horizontal component remains $U/\sqrt2$ and the upward component is $\frac23\sqrt{3/2}\,U$. Hence