质量为 $m\text{ kg}$ 的质点 $P$ 沿一条水平直线运动，受到大小为 $2mv^3\text{ N}$ 的阻力，其中 $v\text{ m s}^{-1}$ 是 $P$ 在 $t\text{ s}$ 时的速度。当 $t=0$ 时，$v=1$。

(a) 求 $v$ 关于 $t$ 的表达式。

(b) 求 $t=6$ 时 $P$ 相对于初始位置的位移。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

阻力与运动方向相反。用牛顿第二定律写出关于 $v$ 和 $t$ 的方程，再用初速度确定积分常数。

On the forward motion, Newton’s second law gives

Dividing by $m$ and separating variables gives $v^{-3}\,\mathrm{d}v=-2\,\mathrm{d}t$. Integrating with $v=1$ at $t=0$ gives

The branch starting at $v=1$ is $v=1/\sqrt{1+4t}$, which stays positive for $t\ge0$.

速度是位移对时间的导数。先求位移函数，用初始位移为零确定常数。

Since $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t=(1+4t)^{-1/2}$,

Using $x=0$ at $t=0$ gives $C=-1/2$. At $t=6$, the displacement is $\frac12(5-1)=2\,\mathrm{m}$.

也可直接对前 $6$ 秒的速度作定积分，得到位移。

The displacement in the first $6$ seconds is