质点 $P$ 从水平面上的点 $O$ 以速率 $u$、与水平方向成 $\alpha$ 角、斜向上的方向抛出，随后仅在重力作用下自由运动。在随后的任意时刻 $t$，$P$ 相对于 $O$ 的水平位移和竖直位移分别记为 $x$ 和 $y$。

(a) 推导 $P$ 的轨迹方程，并写成以下形式：

已知 $u=20\sqrt2\text{ m s}^{-1}$，且质点 $P$ 经过 $x=64\text{ m}$、$y=8\text{ m}$ 的点。

(b) 求 $\tan\alpha$ 的可能值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

分别写出水平和竖直位移的时间表达式。由水平式求 $t$，再代入竖直式。

The horizontal velocity stays equal to $u\cos\alpha$, and the vertical acceleration is $-g$. Hence

Using $t=x/(u\cos\alpha)$ in the vertical equation gives

将已知坐标与初速率代入轨迹方程，用 $\sec^2\alpha=1+\tan^2\alpha$ 把它化为二次方程。

Write $z=\tan\alpha$. With $g=10$, $u^2=800$ and $(x,y)=(64,8)$, the trajectory equation gives

Multiplying by $5$ gives $40=320z-128-128z^2$. Rearranging and dividing by $8$ yields

Thus $\tan\alpha=3/4$ or $7/4$.