一个内表面光滑的空心圆锥固定放置，顶点 $O$ 朝下。圆锥的半顶角为 $\alpha$，其中 $\tan\alpha=\frac34$。一根轻且不可伸长的绳的一端连接质量为 $m$ 的质点 $A$，另一端连接质量为 $m$ 的质点 $B$。绳穿过圆锥顶点 $O$ 处的一个小孔。质点 $B$ 悬挂在 $O$ 下方并处于平衡状态。质点 $A$ 位于圆锥内表面上，高于 $O$ 的高度为 $h$，以恒定角速度 $\omega$ 做水平圆周运动（见图）。

用 $g$ 和 $h$ 表示 $\omega$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

先用悬挂质点的平衡确定张力。对做圆周运动的质点，支持力斜向上且指向轴，张力斜向下且指向轴。

Since $B$ is in equilibrium, the tension is $T=mg$. The cone angle satisfies $\sin\alpha=3/5$ and $\cos\alpha=4/5$, and the radius of the circle is $h\tan\alpha=3h/4$. The normal reaction $R$ on $A$ has upward component $R\sin\alpha$ and inward horizontal component $R\cos\alpha$. Vertical equilibrium gives

The inward radial equation is

The left side is $3mg(4/5)+mg(3/5)=3mg$, so $3mg=3mh\omega^2/4$, giving $\omega^2=4g/h$. Hence $\omega=2\sqrt{g/h}$.