$ABCD$ 是一块边长为 $6a$ 的均匀正方形薄片。点 $E$ 和 $F$ 分别在 $DC$ 和 $AB$ 上，且 $DE=FB=h$。从正方形薄片中移去四边形 $BCEF$（见图）。

(a) 证明剩余薄片 $AFED$ 的质心到 $AD$ 的距离为

并求质心到 $AB$ 的距离的相应表达式。

当薄片 $AFED$ 从点 $D$ 悬挂时，边 $DA$ 与竖直向下方向成 $\theta$ 角，其中 $\tan\theta=\frac7{15}$。

(b) 用 $a$ 表示 $h$ 的两个可能值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

取 $A$ 为原点，把剩下的梯形分成左侧矩形和右侧三角形。以面积代替质量，分别对 $AD$、$AB$ 取矩。

Take $A=(0,0)$, with coordinates to the right and upwards. Then $E=(h,6a)$ and $F=(6a-h,0)$. Let $G=(h,0)$. The rectangle $AGED$ has area $6ah$ and centroid $(h/2,3a)$. The triangle $GFE$ has area $18a^2-6ah$ and centroid $((h+6a)/3,2a)$, using the average of the three vertices. Thus

The required distances are $\overline{x}=(h^2-6ah+36a^2)/(18a)$ and $\overline{y}=2a+h/3$.

也可沿对角线 $AE$ 把薄片分成两个三角形。由底边与高求面积，由三个顶点的坐标求质心。

Triangle $AED$ has area $3ah$ and centroid $(h/3,4a)$. Triangle $AEF$ has area $18a^2-3ah$ and centroid $(2a,2a)$. With total area $18a^2$, the moments give

Therefore $\overline{x}=(h^2-6ah+36a^2)/(18a)$ and $\overline{y}=2a+h/3$.

还可先补成一个矩形，再减去右上角的三角形。被减去部分的面积矩取负。

Let $H=(6a-h,6a)$. The rectangle $AFHD$ has area $36a^2-6ah$ and centroid $(3a-h/2,3a)$. Triangle $EFH$ has area $18a^2-6ah$ and centroid $(4a-h/3,4a)$. Subtracting the triangle’s moments gives

Dividing by $18a^2$ gives $\overline{x}=(h^2-6ah+36a^2)/(18a)$ and $\overline{y}=2a+h/3$.

悬挂平衡时，质心恰在 $D$ 的正下方。用原来的薄片坐标表示 $D$ 到质心的位移，再根据转角列正切式。

The displacement from $D=(0,6a)$ to the centre of mass has horizontal component $\overline{x}$ and downward component $6a-\overline{y}$. The line joining these points becomes vertical, so

Since $6a-\overline{y}>0$, cross-multiplying gives $15(h^2-6ah+36a^2)=7(72a^2-6ah)$. Expanding and collecting gives $15h^2-48ah+36a^2=0$. Dividing by $3$ yields

Both solutions lie in $0<h<3a$, as required by the diagram, so $h=2a$ or $6a/5$.