两个半径相等的均匀光滑球 $A$ 和 $B$ 的质量分别为 $5m$ 和 $4m$。球 $A$ 在水平面上以速率 $u$ 运动，与静止的球 $B$ 发生碰撞。碰撞前瞬间，$A$ 的运动方向与两球连心线成 $\theta$ 角（见图）。两球之间的恢复系数为 $e$。

(a) 证明碰撞后 $B$ 的速率为 $\frac59u(1+e)\cos\theta$。

碰撞后，$A$ 的动能等于 $B$ 的动能。

(b) 已知 $\tan\theta=\frac23$，求 $e$ 的值。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

沿球心连线列动量守恒和恢复定律。$B$ 原来静止，碰后速度完全沿球心连线。

Let $v_A$ and $v_B$ be the signed components along the line from $A$ to $B$ after impact. Conservation of momentum and restitution give

Substituting $v_A=v_B-eu\cos\theta$ into the momentum equation gives $9v_B=5(1+e)u\cos\theta$. The perpendicular component of $B$ remains zero, so its speed is $\frac59(1+e)u\cos\theta$.

$A$ 碰后的速率要用两个速度分量合成。把两球动能相等写成关于 $e$ 的方程，再选取物理可行的根。

The parallel component of $A$ is $v_A=(5-4e)u\cos\theta/9$ from the collision equations. Its perpendicular component stays equal in magnitude to $u\sin\theta$. Equating kinetic energies gives $\frac12(5m)(v_A^2+u^2\sin^2\theta)=\frac12(4m)v_B^2$. Cancelling $m/2$ and substituting gives

Dividing by $5u^2\cos^2\theta/81$ and using $\tan^2\theta=4/9$ yields

Expanding gives $25-40e+16e^2+36=20+40e+20e^2$, so

The roots are $e=1/2$ and $e=-41/2$. Since $0\le e\le1$, reject the negative root and obtain $\boxed{e=1/2}$.