质量为 $m$ 的质点 $P$ 连接在一根长为 $a$ 的轻且不可伸长的绳的一端，绳的另一端固定在点 $O$。质点绕 $O$ 做完整的竖直圆周运动，绳始终拉紧。当绳与过 $O$ 的竖直向下方向成 $\theta$ 角时，$P$ 的速率为 $\sqrt{4ag}$。运动过程中，绳的最大张力与最小张力之比为 $11:1$。

求 $\cos\theta$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

先由能量守恒把圆周各点的速率写成高度的函数。代入径向方程后，张力随高度单调变化，最大、最小值就在最低点和最高点。

Write $c=\cos\theta$. The point with speed $\sqrt{4ag}$ is at height $a(1-c)$ above the lowest point. At an angle $\phi$ to the downward vertical, conservation of energy gives

Cancelling $m$ and rearranging gives

Resolving towards the centre gives $T-mg\cos\phi=mv^2/a$, so

Thus $T_{\max}=mg(7-2c)$ at the bottom and $T_{\min}=mg(1-2c)$ at the top. Their ratio gives

The resulting minimum tension is $3mg/5>0$, consistent with a taut string throughout.