质量为 $6.4\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$ 沿一条水平直线运动。在时刻 $t\,\mathrm{s}$，$P$ 的速率为 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，且 $P$ 到出发位置的距离为 $x\,\mathrm{m}$。作用在 $P$ 上的力为大小为 $8\,\mathrm{N}$ 的恒定驱动力，以及大小为 $0.5v^2\,\mathrm{N}$ 的阻力。初始时，$P$ 静止。

(a) 求 $P$ 运动 $0.8\,\mathrm{m}$ 时的速率。

(b) 求 $t$ 的表达式，用 $v$ 表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

用牛顿第二定律列出合力，再将加速度写成 $v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$。分离变量后，从静止的起点积分。

The equation of motion is $6.4v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x=8-\frac12v^2$. Thus

Since the speed increases from rest toward the limiting value $4$, $0\le v<4$ and the logarithm arguments are positive. Exponentiating gives $(16-v^2)/16=e^{-x/6.4}$. The non-negative speed is therefore $v=4\sqrt{1-e^{-x/6.4}}$. At $x=0.8$ this is

这次将加速度写成 $\mathrm{d}v/\mathrm{d}t$。积分中的分母是平方差，可用反双曲正切或部分分式。

From $6.4\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}t=8-\frac12v^2$ and $v(0)=0$,

Using partial fractions,

Thus

Equivalently, $t=3.2\operatorname{artanh}(v/4)$. This applies for $0\le v<4$, with $4\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ the limiting speed.