点 $O$ 和 $A$ 位于同一个水平面上，相距 $10\,\mathrm{m}$。点 $A$ 位于另一个平面的底部，该平面向上倾斜，与水平面成 $\alpha$ 角，且 $\tan\alpha=\frac43$。点 $B$ 位于斜面上，沿最大坡度线量得 $B$ 到 $A$ 的距离为 $5\,\mathrm{m}$。点 $O$、$A$ 和 $B$ 位于同一个竖直平面内，且角 $OAB$ 为钝角。

一个质点从 $O$ 以初速率 $u\,\mathrm{m\,s^{-1}}$、与水平方向成 $\theta$ 角朝斜面抛出。质点只在重力作用下自由运动。当质点的运动方向垂直于斜面时，质点在点 $B$ 处撞上斜面。

求 $u$ 和 $\theta$ 的值，求解次序不限。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

以 $O$ 为原点，先由斜面三角比求 $B$ 的坐标。碰撞时速度与斜面垂直，斜率为 $-3/4$。用速度条件与两个位移方程消去初速度分量，先求飞行时间。

The slope has $\cos\alpha=3/5$ and $\sin\alpha=4/5$. Since $\angle OAB$ is obtuse, $B$ is horizontally beyond $A$ and has coordinates $(10+5(3/5),\,5(4/5))=(13,4)$ relative to $O$.

Let $H=u\cos\theta$ and $W=u\sin\theta$. At impact time $t$, the displacement equations and the perpendicular velocity condition are

Multiplying the last equation by $t$ gives $Wt-gt^2=-39/4$. Subtracting this from the height equation yields $\frac12gt^2=4+39/4=55/4$. With $g=10$, $t=\sqrt{11}/2$. Consequently

Thus

也可直接用轨迹方程。轨迹在 $B$ 处的高度为 $4$，斜率为 $-3/4$，这两个条件可消去二次项系数。

At $B=(13,4)$, the trajectory $y=px-\frac12cx^2$ has height $4$ and gradient $-3/4$, where $p=\tan\theta$ and $c=g/(u^2\cos^2\theta)$. Thus

Eliminating $c$ gives $4=\frac{13}{2}(p-\frac34)$, so $p=71/52$ and $\theta\approx53.8^\circ$. Then

Hence $u\approx13.3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.

也可用竖直速度的平方与高度关系，避免先求飞行时间。再把这个平方差与水平位移条件结合。

The coordinates are $B=(13,4)$ and the impact velocity components are $H$ and $-3H/4$. If $W$ is the initial upward component, vertical kinematics gives

The time of flight is $(W+3H/4)/g$. The horizontal displacement is $13$, so $H(W+3H/4)=13g$. Factoring the difference of squares and dividing by $W+3H/4>0$ gives $W-3H/4=8H/13$. Therefore $W/H=3/4+8/13=71/52$, and $13g=H^2(71/52+3/4)=55H^2/26$. With $g=10$, this gives $H^2=676/11$. Hence $\theta=\arctan(71/52)\approx53.8^\circ$ and $u=\sqrt{H^2+W^2}\approx13.3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$.