质量为 $m$ 的质点通过一根长为 $a$、不可伸长的轻绳连接于固定点 $O$。质点最初悬挂在 $O$ 正下方的点 $A$ 处。随后，质点以速率 $2\sqrt{ag}$ 沿水平方向被抛出，并开始在竖直圆周上运动。

(a) 求绳转过 $\theta$ 角时绳中张力的表达式，答案用 $m$、$g$ 和 $\theta$ 表示。

(b) 求质点所能达到的、相对于经过 $A$ 的水平面的最大高度，用 $a$ 表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

角度从最低点的竖直向下方向量起。先用升高量 $a(1-\cos\theta)$ 求速度，再沿绳向圆心列方程。

At angle $\theta$ the particle has risen by $a(1-\cos\theta)$. Conservation of energy gives

While the string is taut, the inward radial equation is $T-mg\cos\theta=mv^2/a$. Hence

上升途中张力先降为零，之后粒子作抛体运动。先求绳松弛时的高度和竖直速度，再加上抛体阶段的上升量。

The string becomes slack when $2+3\cos\theta=0$, so $\cos\theta=-2/3$. At that point the height above $A$ is $a(1-\cos\theta)=5a/3$, and $v^2=2ag/3$. The upward velocity component is $v\sin\theta$, whose square is

In free flight the vertical speed becomes zero at maximum height. If $h$ is the further rise, $0=v^2\sin^2\theta-2gh$, giving $h=v^2\sin^2\theta/(2g)=5a/27$. Thus the maximum height is