一根轻弹性绳的自然长度为 $2.5\,\mathrm{m}$，弹性模量为 $15\,\mathrm{N}$。绳的一端连接于固定点 $O$，另一端连接于质量为 $1.5\,\mathrm{kg}$ 的质点 $P$。将质点 $P$ 保持在 $O$ 处，然后从静止释放，使其开始竖直下落。在随后的运动中，当绳的伸长量为 $x\,\mathrm{m}$ 时，$P$ 的速度为 $v\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。在这一运动过程中，绳的最大伸长量为 $E\,\mathrm{m}$。

(a) 证明，当 $0<x<E$ 时，

(b) 求 $E$ 的值。

(c) 求 $P$ 的最大速率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

Where a numerical value for the acceleration due to gravity ($g$) is needed, use $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$.

需要使用重力加速度 $g$ 的数值时，取 $10\,\mathrm{m\,s^{-2}}$。

从 $O$ 到伸长为 $x$ 的位置，共下落 $2.5+x$。绳在前 $2.5$ 米内松弛，只有伸长部分产生弹性势能。

Conservation of energy from release, using $g=10$, gives

Thus $37.5+15x=0.75v^2+3x^2$, which rearranges to $v^2=-4(x^2-5x-12.5)$.

也可先求刚拉直绳时的速度。绳拉直后，合力为重力减张力，将加速度写成 $v\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}x$ 后积分。

Free fall through $2.5\,\mathrm m$ gives $v^2=2(10)(2.5)=50$ at $x=0$. When the string is stretched, Newton’s second law gives

Integrating gives

At $x=0$, $v^2=50$, so $C=25$. Therefore $v^2=50+20x-4x^2=-4(x^2-5x-12.5)$.

最大伸长处瞬时静止。令 $v=0$，解二次方程并保留正根。

At maximum extension, $E^2-5E-12.5=0$. The roots are $E=(5\pm\sqrt{25+50})/2=\frac52(1\pm\sqrt3)$. Reject $\frac52(1-\sqrt3)<0$ because an extension must be positive. Thus

对速度平方配方，确定抛物线顶点。再和绳刚拉直时的速度比较。

While the string is stretched, $v^2=75-4(x-2.5)^2$. Its maximum is $75$ at $x=2.5$, which lies in $(0,E)$. During free fall before stretching, the speed squared reaches only $50$. Thus the maximum speed is $\boxed{5\sqrt3\approx8.66\,\mathrm{m\,s^{-1}}}$.